at にはいろいろな用法があります。どういった用法があり、どのように使われるのでしょうか。「地点・場所」「時の一点」「方向・目標」「~の状態で」などの用法と、共通するイメージを解説します。
地点・場所の一点を指す「~に」の at
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
I have a cat ( ) home.
私は家でネコを飼っています。

家の中で飼っているんですよね。こうかなぁ。

違います。in を使うなら、in my house となります。今回は home なので、前置詞は at を使います。
空間の1点を指して「~に」というとき、at を使います。

house と home も同じ「家」じゃないのですか。

house は「建築物」としての「家」です。それに対して、home は「心の拠り所」としての「家」ですね。だから、in と at を使い分けているのです。
まぁ、よくわからなかったら「in the house」「at home」でまずは覚えておくといいですよ。
時の1点を指す「~に」の at
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
I go to bed ( ) ten.
私は十時に寝ます。

「~に」ですか。こうかなぁ。

to は目的地を表す前置詞です。時刻を表すには at を使います。
時の1点を示す「~に」は at を使います。
「最初は・始めは」の at first
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
He didn’t believe the news ( ) first.
彼は最初そのニュースを信じなかった。

「ファースト」の前に何か入れたらいいのですね。

「レディファースト」ですか? 今回は関係ないですよね。「最初は」はこうあらわします。
「最初は・始めは」は at first を使います。
「ついに・とうとう」の at last
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
I found him ( ) ( ).
私はとうとう彼を見つけました。

「とうとう」ですか。こうかなぁ。

ten ten ??? もしかして「10・10 / とう・とう」と考えたの? 「とうとう」は「ついに」という意味ですよ。正解はこうです。
「ついに・とうとう」は at last を使います。
「~の点で・~に関して」の at
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
I am good ( ) swimming.
私は泳ぐのが上手です。

「上手」なんですね。

違います。good job は「よくやった!」という意味で、褒めるときに使いますけれど、今回はそうじゃないですよね。
ここは「泳ぐこと」に関して good ということで、at を使います。これは be good at ~ で「~が上手(得意)です」と覚えるのがいいでしょう。
「~の点で・~に関して」は at を使います。
「~が上手(得意)です」は be good at ~ を使います。
方向・目標「~に向かって」の at
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
Look ( ) this picture.
この絵を見て。

絵の方向に目を向けるんですね。こうかなぁ。

look for ~ は「~を探す」です。「~を見る」は at を使ってこうあらわします。ある一点に対して目を向けるイメージですね。
「~に向かって」と方向・目標をあらわすときは、at を使います。
「~の状態で」の at
次の日本語に合うように、( )に適当な語を書きなさい
I will challenge the game ( ) my best.
私は最高の状態で試合にチャレンジします。

「最高の状態」ですか。こうかなぁ。

do one’s best で「最善を尽くす」ですね。でもそうしちゃうと、動詞が二つになっちゃうよ。今回は一時的な状態をあらわす at を使います。
一時的な状態をあらわすときは at を使います。
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