特殊な分詞構文「付帯状況」と「接続詞がある分詞構文」

特殊な分詞構文の形があるって聞いたんですが、どういうものがありますか。

付帯状況をあらわす分詞構文や、接続詞がある分詞構文があります。

付帯状況をあらわす分詞構文

まずは付帯状況をあらわす分詞構文から、見ていきましょう。

with＋O＋現在分詞 / O が～している状態で
with＋O＋過去分詞 / O が～された状態で

She sat there with his eyes shining.
彼女は目を輝かせながらそこに座った。
She sat there with her eyes closed.
彼女は目を閉じながらそこに座った。

O が分詞の意味上の主語になります。分詞の代わりに形容詞 (句) や、副詞 (句) が来ることもありますね。

現在分詞を使うのか、過去分詞を使うのかの区別が難しいです。どう考えたら良いですか。

意識しているか、していないかによって使い分けます。意識していたら「過去分詞」、していなかったら「現在分詞」になります。

分詞構文は接続詞を省略するのが基本ですが、なんと接続詞を残すパターンもあります。分詞構文の意味をはっきりさせるために、接続詞を分詞構文の前に置くのです。

While staying in America, I happened to meet him.
アメリカ滞在中に、私は彼に偶然会いました。

なんだか本末転倒な感じがしますが、正確に意図を伝えたいなら、接続詞はあったほうがいいですね。