「~に…させる」「~が…するのを手伝う」というとき、英語でどのように言えばよいのでしょうか。let や help の後ろに動詞の原形がくる表現があります。今回は「let 人+動詞の原形 / help 人+動詞の原形」となる原形不定詞の表現を解説します。
let 人+動詞の原形
語句を並び替えて、英文を完成させなさい。
(let / a / build / them / house / .)
彼らに家を建てさせてください。

「家が建てられる」ですね。こうかなぁ。

いやいや、選択肢と単語が全然違うよ。そもそも「家が建てられる」ではなく、「家を建てさせる」です。これは受け身の文ではなく、許可の表現です。良く問題を読みましょう。ということで、正解はこうなります。
「let 人+動詞の原形」で「~に…をさせる」の意味になります。

後ろは「to+動詞の原形」にはならないんだね。

そうです。少し難しい言い方で、「原形不定詞」と言います。to は使いません。
make A B / AをBにする
語句を並び替えて、英文を完成させなさい。
(soccer / excited / us / game / the / made / .)
そのサッカーの試合は私たちをわくわくさせました

「わくわくさせる」ですね。こうかなぁ。

また問題の選択肢を見ずにやったでしょ。let の文は「許可」をあらわしています。今回の問題では、「excite していいよ」っていう許可を出したのではありませんよね。

どういうことですか?

これは「make A B / AをBにする」のパターンです。excite 自体が「わくわくさせる」という意味の動詞なので、訳の字面が似通っていますが、意味するところは違います。「人」の部分が「を」なのか「に」なのかに注目すれば、区別がつけやすいかもしれませんね。
make 人 excited 「~をわくわくさせる」
let 人+動詞の原形「~に…させる」

「私たちをわくわくさせた」だから、こうなるのですね。

はい、それで正解です。
help 人+動詞の原形
語句を並び替えて、英文を完成させなさい。
(helps / he / English / study / me / .)
彼は私が英語の勉強をするのを手伝います。

「勉強することを手伝う」ですね。こうかなぁ。

問題の選択肢には to はありませんよ。正解はこうなります。

えっ、help にも to はいらないんですか。

イギリスの書き言葉では、to を使うことがあるという話もありますが、ややこしくなるので help も原形不定詞をとると考えるのがいいですね。
「help 人+動詞の原形」で「~が…するのを手伝う」の意味になります。
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